Порой кажется, что растения растут беспорядочно, в случайной последовательности. Но правда в том, что окончания каждой ветки, листа, стебля, почки или лепестка согласуются с определенными законами. Куда ни глянь, в природе есть шаблоны и образцы, самым постоянным из которых является последовательность Фибоначчи.

Впервые числа Фибоначчи описали древнеиндийские математики за сотни лет до нашей эры, хоть они и названы в честь итальянского математика Леонардо из Пизы, более известного как Фибоначчи.

Последовательность Фибоначчи проста до невозможности: каждое последующее число является суммой двух предыдущих, т. е. последовательность выглядит как 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21… и так далее до бесконечности. Кстати, числа Фибоначчи можно найти в природе практически где угодно. К примеру, расположение листьев вдоль стебля подпадает под последовательность Фибоначчи, так что каждый лист имеет максимальный доступ к солнечному свету и влаге. По такому же принципу работает строение сосновых шишек, подсолнухов, ананасов и кактусов.

Возможно, вы слышали о таком явлении, как золотое сечение, — это и есть еще одна форма последовательности Фибоначчи в природе. И все растения так или иначе имеют свою геометрию. Однако у одних из них геометрия более очевидная и яркая, чем у других. И вот лишь некоторые примеры.

Романеско

Романеско отличается светло-зеленым цветом и незабываемым видом, по своей форме напоминая фрактал. По сравнению с обычной цветной капустой текстура романеско как овоща не такая хрустящая, а вкус не такой характерный, скорее утонченный и ореховый.

Толстянка «Буддистский храм»

Это гибрид между толстянками видов Crassula falcata и Crassula pyramidalis, выведенный в 1959 году Мироном Кимнахом из США. Но так как этот представитель флоры очень медленно растет, его никогда широко не рекламировали. Так что даже спустя 50 лет после создания «Буддистский храм» все еще трудно найти. Растение достигает почти 15 см в высоту и начинает раскрываться на разных уровнях по бокам от каждой колонны. Плоские тонкие листья серебристо-серого или серовато-зеленого оттенка плотно идут друг за другом и завернуты вверх по краям, образуя идеально квадратную колонну.

Aloe polyphylla

Алоэ вида polyphylla растет высоко на травянистых склонах Драконовых гор в Королевстве Лесото, недалеко от ЮАР. Здесь оно цепляется за скалистые трещины и хорошо просушенные склоны. В этой местности довольно прохладный климат летом, а зимой алоэ часто покрывает глубоким снегом. Из-за своей симметричной спиральной формы это растение стало объектом вожделения коллекционеров, однако его трудно культивировать, и обычно оно погибает, если забрать его с «родины». В Южной Африке покупка или коллекционирование этого растения является преступлением.

Георгина

Георгина — обычный садовый цветок, но присматривались ли вы к нему? Существует 42 вида георгины, и их листья могут достигать от 5 до 30 см.

Подсолнух

Семенная шапка подсолнуха следует спирали Ферма, которая основана на последовательности Фибоначчи.

Капуста краснокочанная

Если разрезать краснокочанную капусту пополам по горизонтали, вы увидите спирали Фибоначчи в расположении листьев.

Пелецифора мокрицевидная

Пелецифора мокрицевидная имеет серо-зеленый цвет и круглую форму с плосковатыми узелками, которые отличаются чешуйчатыми позвонками и расположены в форме спирали. Она может вырастать до 10 см в высоту, а ее цветки ярко-фиолетового цвета достигают ширины 3 см. Это растение относительно редкое, и его можно найти только в Северной Мексике.

Ludwigia sedioides

Ludwigia sedioides, известный также как Мозаичный цветок, — это многолетнее травянистое растение, которое произрастает только на болотах Бразилии и Венесуэлы.

Lobelia deckenii

Lobelia deckenii — это вид лобелии гигантской, который растет в горах Восточной Африки. Обычно это растение дает многочисленные розетты. Обычно они соединены под землей. Каждая розетта растет несколько десятилетий, дает одно крупное соцветие и сотни тысяч семян, а затем погибает.

Дудник

Цветочная головка дудника имеет круглую форму. Каждая ее часть похожа на целую головку тем, что имеет стебель и собственный круг цветков. Дудник — это род, к которому относится около 60 видов высоких двухлетних и многолетних растений семейства зонтичных. Он произрастает в умеренных и субполярных регионах Северного полушария, достигая даже Исландии и Лапландии. Вырастает до 1-3 м высотой, имеет крупные двуперистые листья и большие сложные зонтики белых или зеленовато-белых цветков.

Виктория амазонская, она же виктория регия.

Это родственник обыкновенной кувшинки, который, как понятно из названия, в диком виде встречается в Южной Америке, в реках с медленным течением или тамошних заводях. Её сразу можно отличить от других видов благодаря огромным листьям до двух метров диаметром. Листья эти усилены снизу полыми рёбрами и могут выдержать вес в 30-50 кг, если груз расположить точно в центре листа. Снизу эта красота покрыта острыми и длинными шипами для защиты от рыб и прочих животных, а по краям листья имеют щели, через которые вытекает вода, скопившаяся на верхней стороне. Джозеф Пакстон, садовник герцога Девонширского, использовал принцип жилкования листа этого растения при проектировании дворца «Кристал Пэлас» в Лондоне и был первым, кто смог вывезти эту кувшинку за пределы родины и создать условия для цветения.

Угадайте, сколько итальянских фамилий в предложении «Тольяттинский мэр переехал в джакузи». Вспомним восемь итальянцев, фамилии которых замаскировались под обыкновенные имена нарицательные. Для них был придуман термин «эпоним».

Термин «числа Фибоначчи» — выходец из словарей математиков.

Разберемся, что это такое. Числа Фибоначчи — это последовательность, в которой каждое число равно сумме двух предыдущих чисел. Начинается такая последовательность с 1 и 1 либо с 0 и 1. Например, 1 1 2 3 5 8 — последовательность Фибоначчи.

Последовательности Фибоначчи подчиняется правило пропорции — золотое сечение, когда малая часть относится к большей, как большая ко всему целому. Раковины улиток, расположение листьев на стебле, волны, спираль ДНК, галактики — все это скручивается в спираль Фибоначчи.

Эту лекционную часть мы ввели в статью для того, чтобы познакомить вас с человеком, первым заметившим интересную последовательность цифр. Им был средневековый купец Леонардо Пизанский. «Фибоначчи» — прозвище, сокращение от «филлиус Боначчи».

Означает «сын Боначчи»: отца математика звали Гульельмо Боначчи. Сам Леонардо почему-то предпочитал подписываться Биголло — слово bigollo означает «странник» или «бездельник». По поводу бездельника он, конечно, поскромничал: в Средние века Фибоначчи был известен как талантливейший математик. Именно он, например, ввел в обращение в Европе знак нуля и арабские цифры.

Папарацци

Фамилию «Папараццо» носит фоторепортер светской хроники из фильма Феллини «Сладкая жизнь» 1960 года. Прототип героя, не выпускающего из рук фотоаппарат — итальянец Тацио Секкиароли, известный мастер компрометирующих снимков.

Проныра Секкиароли имел прямо-таки природное чутье на курьезы. Известная актриса танцует стриптиз на закрытой вечеринке? Египетский король приятно проводит время с обществе двух красоток в римском ресторане? Секкиароли и его верный фотоаппарат были тут как тут.

Феллини, лично знакомый с фотографом, списал с него своего персонажа, дав ему новое имя — Папарацци. Вот откуда, по некоторым версиям, взялось это слово. Первая: слово «папарацци» на итальянском языке обозначает комариное жужжание, такое же, мол, раздражающее и надоедливое, как вспышки журналистских фотокамер. Эту версию подтверждает и интервью Феллини журналу Time.

Согласно другой теории, сценарист фильма придумал фамилию героя, обнаружив сходство между щелчком затвора фотоаппарата и захлопыванием раковин моллюсков paparazzi di mare (морские папарацци) семейства мактр.

Третья, не зоологическая версия, гласит, что Папарацци — фамилия героя книги Джорджа Гиссинга, которая приглянулась сценаристу из-за своего интересного звучания.

К концу 1960-х слово paparazzi вошло в мировые языки как общее обозначение для назойливых фотографов.

Джакузи

Вообще-то правильно не «джакузи», а «якуцци». «А ну, девчонки, айда в якуцци!» — звучало бы, конечно, здорово, но американцы стали произносить его на свой лад, и «джакузи» как-то прижилось больше.

В начале прошлого века семеро братьев из семьи итальянских иммигрантов основали в калифорнийском городе Беркли фирму Jacuzzi Bros Propellers, которая производила сначала деревянные пропеллеры, потом — самолеты-монопланы с корпусом из древесины. Любят итальянцы работать с деревом, что поделать.

Однажды маленькому сыну одного из братьев прописали массаж для лечения артрита. Тогда Якуцци придумали насос, который можно было погрузить в ванну для проведения массажных процедур. Насос неожиданно стал пользоваться солидным спросом, и вскоре фирма Jacuzzi выпустила первую ванну с встроенным гидромассажем — прототип того, что мы сейчас называем «джакузи».

Тольятти

Эта история уходит корнями в далекий 1964 год, когда в СССР было два Ставрополя. Чтобы хоть как-то их отличать, один город называли Ставрополь-Кавказский, а другой — просто Ставрополь (иногда — Ставрополь-на-Волге). Неизвестно, сколько времени два города делили бы одно название на двоих (и сколько несчастных, ехавших в Ставрополь-Кавказский, по ошибке приезжало бы в просто Ставрополь), если бы в 1964 году в СССР не умер итальянский политик Пальмиро Тольятти.

В Стране Советов с итальянцем приключилась нехорошая история. Тольятти был видным политиком, возглавлявшим самую большую неправящую коммунистическую партию в Европе. В СССР Тольятти прибыл, чтобы встретиться с Никитой Хрущевым для укрепления, так сказать, связей между компартиями. Но Никита Сергеевич высокому гостю в аудиенции отказал. Он вообще был не в восторге от европейских коммунистов. Не мог же генсек знать, что у Пальмиро такое слабое здоровье.

В августе в Крыму Тольятти неожиданно скончался, и коммунистической верхушке пришлось дружно изображать горе. Кто-то намекнул, что хорошо бы назвать в честь итальянца улицу, а еще лучше — город. Так один из Ставрополей, тот, что в Поволжье, получил элегантное название Тольятти.

Фаллопиевы трубы

Гибриеле Фаллопий — итальянский врач и анатом эпохи Возрождения. Фаллопию мы обязаны очень, очень многим. Во-первых, он принес в мир много ценных знаний о человеческом теле. Итальянский анатом первым изучил мужскую и женскую репродуктивные системы и описал орган, по которому двигаются сперматозоиды во время оплодотворения, — маточные трубы.

Во-вторых, Фаллопий изобрел презерватив. Он предложил оборачивать пенис в льняную оболочку, пропитанную травами и солями, как средство защиты от сифилиса. Через век после него английский врач Чарльз Кондом усовершенствовал презерватив, использовав для его изготовления слизистую оболочку овечьего кишечника. Ему и досталась вся слава.

Америка

Америку открыл Колумб. Это знает каждый двоечник. Только сам Колумб не верил в свое открытие, думая, что нашел новый путь в Индию.

По маршруту, описанному Колумбом, в 1501 году в составе португальской экспедиции проследовал итальянский путешественник Америго Веспуччи и достиг берегов Бразилии.

Веспуччи был уверен: это новый континент. Южную Америку итальянец скромно назвал в своих записях «Новым светом». Зато картографы очень воодушевились. Первым признал открытие Веспуччи картограф Мартин Вальдземюллер, а вслед за ним и остальные составители карт. С 1532 года оба новых континента называли Америкой. Что ж, на каждого сомневающегося найдется свой Веспуччи.

Кардан

Итальянский математик, философ, инженер Джероламо Кардано, живший в XVI веке, сделал десятки открытий. Описать их все в этом скромной статье мы, увы, не можем. Но вот основные.

Кардано первым описал устройство карданной передачи — механизма, который позволяет соединять два вращающихся элемента. Изобрел первую известную шифровальную решетку, трафарет. Такую решетку, например, использовал в секретных переписках кардинал Ришелье.

Медик по образованию, Кардано сделал первое описание инфекционных болезней, разработал (но не претворил в жизнь) проект переливания крови, а еще поделился смутными догадками, будто тиф появляется не от дурного запаха, как считали в Средние века, а из-за деятельности крошечных живых существ, которые нельзя разглядеть невооруженным человеческим глазом.

Панталоны

Венецианский персонаж-маска народного театра. Карикатура на венецианских купцов: скупой старик с седой бородкой, всегда одетый в красный костюм — узкие штаны и пиджак. Разговаривает противным стариковским голосом. Занимается в основном тем, что плетет интриги, подбивает на пакости, науськивает, кляузничает и стравливает персонажей. Отрицательный, в общем, тип.

Что ж, тем лучше для запоминаемости персонажа. Имя положительного миролюбивого героя не стало бы нарицательным для предмета гардероба.

Числа Фибоначчи названы в честь Леонардо Фибоначчи из города Пизы (современная Италия). На самом деле эти числа были известны задолго до Фибоначчи ещё в древней Индии, где они использовались в метрическом стихосложении.

Леонардо Фибоначчи первым ввёл эту числовую последовательность в западноевропейской математической науке в своей важной книге «Liber Abaci» («Книга абака») в 1202 году. Он использовал эту последовательность чисел, когда пытался объяснить рост популяции кроликов.

Фибоначчи рассматривает гипотетическую ситуацию, когда в поле появляется пара кроликов. Они спариваются в конце месяца и в конце второго месяца самка производит еще одну пару. Кролики никогда не умирают, спариваются ровно через месяц, и самки всегда производят пару (один самец, одна самка). Вопрос, который поставил Фибоначчи был следующим: сколько пар будет через один год? Если посчитать, то окажется, что количество пар в конце N-го месяца равно Fn или N-му числу Фибоначчи. Таким образом, количество пар кроликов через 12 месяцев будет F12 или 144.

Числа Фибоначчи и золотое сечение

Как известно, последовательность Фибоначчи начинается с 1 и 1, после чего каждое новое число является результатом сложения двух предыдущих чисел:
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, …
Если разделить два последовательных числа в этом ряду, например 144/89, в конечном итоге получится число 1,618, которое называется «Золотое число» или «Золотое сечение».

Фибоначчи повсюду!

Пропорция золотого сечения считается эстетически приятной и из-за этого многие художники и архитекторы, в том числе Сальвадор Дали и Ле Корбюзье использовали её в своих работах.

Последовательность Фибоначчи и Золотое сечение тесно взаимосвязаны. Отношение последовательных чисел Фибоначчи сходится и приближается к золотому сечению, а выражение замкнутой формулы для последовательности Фибоначчи включает Золотое сечение.

Золотой прямоугольник (розовый) с длинной стороной a и короткой стороной b, и находящийся рядом с ним квадрат со стороной длиной a, создадут подобный золотой прямоугольник с длинной стороной а + b и короткой стороной a. Это изображение иллюстрирует взаимосвязь отношений (a+b)/a = a/b.

Спираль Фибоначчи или золотая спираль — это последовательность соединенных четвертей окружностей, вписанных внутри массивов квадратов со сторонами равными числам Фибоначчи. Квадраты идеально подходят друг к другу из-за природы последовательности Фибоначчи, в которой следующее число равно сумме двух перед ним (см.предыдущий рисунок). Любые два последовательных числа Фибоначчи имеют отношение, очень близкое к золотому сечению, которое составляет примерно 1.618034. Чем больше пара чисел Фибоначчи, тем ближе это приближение. Спираль и результирующий прямоугольник называются золотым прямоугольником.

Почему эта последовательность настолько уникальна

Числа Фибоначчи описывают различные явления в искусстве, музыке и природе. Числа спиралей на большинстве шишек и ананасах равны числам Фибоначчи. Расположение листьев и ветвей на стеблях многих растений соответствуют числам Фибоначчи. На пианино количество белых (8) клавиш и черных (5) клавиш в каждой октаве (13) являются числами Фибоначчи. Длины и ширины многих прямоугольных предметов, таких как учетные карточки, окна, игральные карты и пр. соответствуют последовательным числам ряда Фибоначчи.

Числа Фибоначчи в природе

Подсолнухи являются отличными примерами последовательности Фибоначчи, потому что семена в центре цветка организованы в два набора спиралей — короткие, идущие по часовой стрелке от центра, и более длинные — против часовой стрелки. Если считать спирали последовательно, то, видимо, всегда найдутся числа Фибоначчи.

Последовательность Фибоначчи можно также увидеть в форме или разделении ветвей дерева. Основной ствол будет расти до тех пор, пока он не создаст ветвь, которая создает две точки роста. Затем один из новых стеблей разветвляется на два, в то время как другой находится в состоянии покоя. Такая картина ветвления повторяется для каждого из новых стеблей. Корневая система и даже водоросли также демонстрируют эту закономерность.

Вот еще несколько примеров, где вы можете найти спираль Фибоначчи в природе.

Неудивительно, что спиральные галактики также следуют знакомой схеме Фибоначчи. Млечный Путь имеет несколько спиральных рукавов, каждый из которых представляет логарифмическую спираль около 12 градусов.

Числа Фибоначчи в теле человека

Есть много примеров соотношений частей тела человека на основе последовательности Фибоначчи, например рука и, в частности, кости пальца.

Каждая кость указательного пальца, от кончика до основания запястья, больше предыдущей примерно на коэффициент Фибоначчи 1,618, что соответствует числам Фибоначчи 2, 3, 5 и 8.

Числа Фибоначчи в биржевой торговле

Последовательность Фибоначчи является инструментом технического анализа, используемым профессиональными трейдерами в сочетании с другими инструментами для расчета прогноза потенциального конца коррекции, принимая процент от предыдущего движения.

Считается, что во время мощного рыночного движения, цены могут откатываться на 23,6% (это соответствует отношению числа ряда Фибоначчи на позиции N к числу на позиции N+3), 38,2% (соответствует отношению числа ряда Фибоначчи на позиции N к числу на позиции N+2) или 50% (половина). Эти уровни коррекции Фибоначчи считаются «нормальными». Если же цена падает на 61,2% (отношение двух соседних чисел ряда Фибоначчи — позиции N и N+1) и более, то это серьезный сигнал вероятного разворота тренда.

Числа Фибоначчи в фотографии и искусстве

В фотографии сетка фи (phi) является интерполяцией спирали Фибоначчи и в наши дни считается фундаментальным методом для создания приятной композиции в кадре. Цель состоит в том, чтобы выровнять объект по линиям, созданным спиралью, или использовать её в качестве разделителя для создания правильного ощущения кадра.

Сетка фи (красные линии) и спираль Фиббоначи в кадре.

Имеется много примеров, когда последовательность Фибоначчи появляется вокруг нас, и мы не обращаем внимания на это математическое чудо, которое кажется таинственным фактором, приносящим универсальную форму гармонии элементам математического музыкального искусства природы.

И еще немного фундаментального числа!